WordPress Codexによるとwp_get_attachment_metadataでメディアのキャプションが取得できるっぽい。

   Array
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           )
   )

WordPress Codexより抜粋

$metadata = wp_get_attachment_metadata( $attachment_id );
$caption = $metadata['image_meta']['caption'] ? esc_html( $metadata['image_meta']['caption'] ) : '';
echo $caption;

これでいけるはずなんだけど、なぜか取得できず。
var_dumpしてみるもは空。これはバグなのでしょうか？

どうやらget_postで取得するしかなさそうです。

$caption = ( $attachment = get_post( $post_thumbnail_id ) ) ? esc_html( $attachment->post_excerpt ) : '';
echo $caption;

参考:http://www.webopixel.net/wordpress/779.html