このような設定と仮定して、グループに設定された
・おつまみ
・ドリンク
・デザート
というラベルを取得してみます。

まずは、wpdb クラスのメソッドを利用するために、$wpdb オブジェクトをグローバル変数として宣言します。

global $wpdb;

次に、Advanced Custom Fields のフィールドグループのタイトル(今回の例では「メニュー」)からフィールドグループのIDを取得します。

$field_groups_id = $wpdb->get_var( "SELECT ID FROM $wpdb->posts WHERE post_type = 'acf-field-group' AND post_title = 'メニュー' AND post_status = 'publish'" );

フィールドグループのIDは消さない限り変わることはないので、

$field_groups_id = 186;

のように直接指定してしまってもOKです。
IDは設定画面のURLから確認できます。
例)wp-admin/post.php?post=186&action=edit

次に、取得したフィールドグループのIDと取得したいフィールド名(今回の例では「menu_category」)から設定内容を取得します。

$field_id = $wpdb->get_var( $wpdb->prepare( "SELECT ID FROM $wpdb->posts WHERE post_type = 'acf-field' AND post_parent = %d AND post_excerpt = 'menu_category'", $field_groups_id ) );

最後に、取得したフィールドのIDからフィールドの設定内容を取得します。

$field_content = $wpdb->get_results( $wpdb->prepare( "SELECT * FROM $wpdb->posts WHERE post_type = 'acf-field' AND post_parent = %d", $field_id ) );

まとめるとこんな感じです

$field_contents = array ();
global $wpdb;
if ( $field_groups_id = $wpdb->get_var( "SELECT ID FROM $wpdb->posts WHERE post_type = 'acf-field-group' AND post_title = 'メニュー' AND post_status = 'publish'" ) ) {
	if ( $field_id = $wpdb->get_var( $wpdb->prepare( "SELECT ID FROM $wpdb->posts WHERE post_type = 'acf-field' AND post_parent = %d AND post_excerpt = 'menu_category'", $field_groups_id ) ) ) {
		$results = $wpdb->get_results( $wpdb->prepare( "SELECT * FROM $wpdb->posts WHERE post_type = 'acf-field' AND post_parent = %d", $field_id ) );
		foreach ( $results as $row ) {
			$field_contents[] = esc_html( $row->post_title );
		}
	}
}
print_r( $field_contents );

取り出しやすいように配列に格納しています。

出力結果

$field_contents = array (); Array ( [0] => おつまみ [1] => ドリンク [2] => デザート )