半角/全角、大文字/小文字、ひらがな/カタカナがごちゃまぜでもヒットさせるSQL文です。
例えば、抽出対象が「さまぁ～ず」というワードであれば、
・サマァ～ズ
・ｻまァ～ズ
・さまあ～ず
でもヒットします。
逆に、
・さまーず
・さまぁーず
・さまぁ～ｽﾞ
・バカルディ
ではヒットしません。
「さまぁ～ｽﾞ」はいけそうな気がしてしまいますが、ズが「ｽ＋濁点」になるので残念ながらヒットしません。

そんなさまぁ～ずのためのSQL文がこちら。

SELECT * FROM `table_name` col_name COLLATE utf8mb4_unicode_ci LIKE '%キーワード%'

COLLATEで照合順序を指定して、LIKE 演算子でマッチさせます。
照合順序はデータベース側でテーブルごとに設定されているので、期待通りの抽出ができているならば指定は不要です。
照合順序の記述方法は、文字コード_言語名_比較法で指定します。

文字コード

utf8、utf8mb4、sjis、latin1 など
utf8mb4 に対応しているのは MySQL 5.5 から。
utf8 と utf8mb4 の違いは、

utf8 3バイトまで対応
utf8mb4 4バイトまで対応
言語名

general、unicode など

unicode 半角全角を区別しない
general 半角全角を区別する
比較法
ci 大文字小文字を区別しない
cs 大文字小文字を区別する
bin すべて区別する
※比較法を bin にした場合、言語名は指定できない

よりあいまいに検索するなら半角/全角、大文字/小文字を区別しない照合順序にしてあげればいいので、
_unicode_ci にしておけばよいでしょう。
いやいや、「さまぁ～ず」以外認めないよって人は、_bin でガッチガチにしておきましょう。